1970 AMC 12 Problema 23

Question

El número

10!

(

10

está escrito en base

10

), al escribirse en el sistema de base

12

, termina exactamente en

k

ceros. El valor de

k

es:

The number

10!

(

10

is written in base

10

), when written in the base

12

system, ends in exactly

k

zeros. The value of

k

is:

1

2

3

4

5

Respuesta: D

Conceptos:base numérica ceros finales factorización en primos factorial

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Un cero final en base

12

aporta un factor

12=2^2\cdot3

A trailing base-

12

zero contributes one factor of

12=2^2\cdot3

Pista grande:

Compara los exponentes de

2

y

3

en

10!

Compare the exponents of

2

and

3

in

10!

Solución:

Los exponentes primos en

10!

son

\begin{gathered} v_2(10!)=5+2+1=8,\\ v_3(10!)=3+1=4. \end{gathered}

Cada factor

12=2^2\cdot3

utiliza dos factores de

2

y uno de

3.

Por lo tanto, el número de ceros finales en base

12

es

\min\left(\left\lfloor\frac82\right\rfloor,4\right)=4.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The prime exponents in

10!

are

\begin{gathered} v_2(10!)=5+2+1=8,\\ v_3(10!)=3+1=4. \end{gathered}

Each factor of

12=2^2\cdot3

uses two factors of

2

and one of

3.

Hence the number of trailing base-

12

zeros is

\min\left(\left\lfloor\frac82\right\rfloor,4\right)=4.

Therefore, the correct answer is D.