1969 AMC 12 Problema 16

Question

Al desarrollar

(a-b)^n,

donde

n\ge2

y

ab\ne0,

mediante el teorema del binomio, se observa que, si

a=kb,

donde

k

es un entero positivo, la suma del segundo y el tercer término es cero. Entonces,

n

es igual a:

When

(a-b)^n,

n\ge2,

ab\ne0,

is expanded by the binomial theorem, it is found that, when

a=kb,

where

k

is a positive integer, the sum of the second and third terms is zero. Then

n

equals:

\dfrac12k(k-1)

\dfrac12k(k+1)

2k-1

2k

2k+1

El segundo y el tercer término son

-na^{n-1}b

y

\binom n2a^{n-2}b^2

The second and third terms are

-na^{n-1}b

and

\binom n2a^{n-2}b^2

Sustituye

a=kb

y cancela el factor común no nulo

Substitute

a=kb

and cancel the common nonzero factor

La suma del segundo y el tercer término es

-na^{n-1}b+\frac{n(n-1)}2a^{n-2}b^2.

Al sustituir

a=kb

y dividir entre la cantidad no nula

na^{n-2}b

, se obtiene

-k+\frac{n-1}{2}=0.

Por lo tanto,

n=2k+1.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The sum of the second and third terms is

-na^{n-1}b+\frac{n(n-1)}2a^{n-2}b^2.

Substituting

a=kb

and dividing by the nonzero quantity

na^{n-2}b

gives

-k+\frac{n-1}{2}=0.

Therefore

n=2k+1.

Therefore, the correct answer is E.

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