1976 AMC 12 Problema 16

Question

En los triángulos

ABC

y

DEF,

las longitudes

AC,

BC,

DF

y

EF

son iguales. La longitud

AB

es el doble de la altura de

\triangle DEF

trazada desde

F

hasta

DE.

¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

\mathrm{I}.

\angle ACB

y

\angle DFE

deben ser complementarios.

\mathrm{II}.

\angle ACB

y

\angle DFE

deben ser suplementarios.

\mathrm{III}.

El área de

\triangle ABC

debe ser igual al área de

\triangle DEF.

\mathrm{IV}.

El área de

\triangle ABC

debe ser el doble del área de

\triangle DEF.

In triangles

ABC

and

DEF,

lengths

AC,

BC,

DF

and

EF

are all equal. Length

AB

is twice the length of the altitude of

\triangle DEF

from

F

to

DE.

Which of the following statements is (are) true?

\mathrm{I}.

\angle ACB

and

\angle DFE

must be complementary.

\mathrm{II}.

\angle ACB

and

\angle DFE

must be supplementary.

\mathrm{III}.

The area of

\triangle ABC

must equal the area of

\triangle DEF.

\mathrm{IV}.

The area of

\triangle ABC

must equal twice the area of

\triangle DEF.

solo

\mathrm{II}

\mathrm{II}

only

solo

\mathrm{III}

\mathrm{III}

only

solo

\mathrm{IV}

\mathrm{IV}

only

solo

\mathrm{I}

y

\mathrm{III}

\mathrm{I}

and

\mathrm{III}

only

solo

\mathrm{II}

y

\mathrm{III}

\mathrm{II}

and

\mathrm{III}

only

Respuesta: E

Conceptos:triángulo isósceles altura congruencia (geometría)área

Nivel de dificultad: 2130

Pista pequeña:

Traza alturas desde

C

y

F

; cada altura biseca la base de su triángulo isósceles

Drop altitudes from

C

and

F

; each altitude bisects the base of its isosceles triangle

Pista grande:

Compara una mitad de

ABC

con una mitad de

DEF

como triángulos rectángulos

Compare a half of

ABC

with a half of

DEF

as right triangles

Solución:

Sea

s

la longitud de los lados iguales, sea

AB=2a,

y sea

a

la altura trazada desde

F.

En los triángulos isósceles, la altura desde

C

biseca

AB,

mientras que la altura desde

F

biseca

DE.

Una mitad de

ABC

tiene hipotenusa

s

y cateto

a;

una mitad de

DEF

tiene la misma hipotenusa y el cateto de altura

a.

Los dos triángulos rectángulos son congruentes, con sus catetos intercambiados. Por ello, sus ángulos agudos correspondientes son complementarios, así que los ángulos completos de los vértices

\angle ACB

y

\angle DFE

suman

180^\circ.

Las áreas de las mitades correspondientes también son iguales; por tanto, las áreas de los triángulos completos son iguales. Las afirmaciones

\mathrm{II}

y

\mathrm{III}

son verdaderas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the equal sides have length

s,

let

AB=2a,

and let the altitude from

F

be

a.

In the isosceles triangles, the altitude from

C

bisects

AB,

while the altitude from

F

bisects

DE.

A half of

ABC

has hypotenuse

s

and leg

a;

a half of

DEF

has the same hypotenuse and altitude leg

a.

The two right triangles are congruent with their legs interchanged. Thus their relevant acute angles are complementary, so the full vertex angles

\angle ACB

and

\angle DFE

sum to

180^\circ.

The corresponding half-areas are equal as well, hence the full triangle areas are equal. Statements

\mathrm{II}

and

\mathrm{III}

hold.

Therefore, the correct answer is E.

1976 AMC 12 Problema 16

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2130

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 16 en otros años