1996 AMC 12 Problema 16

Question

Se lanza tres veces un dado estándar, justo y de seis caras. Dado que la suma de los dos primeros lanzamientos es igual al tercero, ¿cuál es la probabilidad de que se obtenga al menos un

2

?

A fair standard six-sided dice is tossed three times. Given that the sum of the first two tosses equals the third, what is the probability that at least one

2

is tossed?

\frac16

\frac{91}{216}

\frac12

\frac8{15}

\frac7{12}

Respuesta: D

Conceptos:probabilidad condicional case counting

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Bajo la condición dada, cuenta los pares ordenados de los dos primeros lanzamientos cuya suma es a lo sumo

6

Under the stated condition, count ordered pairs for the first two tosses whose sum is at most

6

Pista grande:

Para el recuento favorable, separa el caso en que el tercer lanzamiento es

2

de los pares que tienen un

2

entre los dos primeros

For the favorable count, separate a third-toss

2

from pairs having a

2

among the first two tosses

Solución:

Para terceros lanzamientos de

2,3,4,5,6,

las cantidades de pares ordenados de los dos primeros lanzamientos son

1,2,3,4,5,

lo que da

15

resultados condicionales igualmente probables. Un tercer lanzamiento de

2

aporta

(1,1,2).

Un

2

en la primera posición da

4

resultados y un

2

en la segunda da

4,

con

(2,2,4)

contado dos veces. Por tanto, hay

1+4+4-1=8

resultados favorables, y la respuesta correcta es D.

For third tosses

2,3,4,5,6,

the numbers of ordered first-two-toss pairs are

1,2,3,4,5,

for

15

equally likely conditional outcomes. A third toss of

2

contributes

(1,1,2).

A

2

in the first position gives

4

outcomes and a

2

in the second gives

4,

with

(2,2,4)

counted twice. Thus there are

1+4+4-1=8

favorable outcomes, and the correct answer is D.