1998 AMC 12 Problema 16

Question

La figura mostrada es la unión de un círculo y dos semicírculos de diámetros

a

y

b,

cuyos centros son colineales. La razón entre el área de la región sombreada y la de la región no sombreada es

The figure shown is the union of a circle and two semicircles of diameters

a

and

b,

all of whose centers are collinear. The ratio of the area of the shaded region to that of the unshaded region is

\sqrt{\frac ab}

\frac ab

\frac{a^2}{b^2}

\frac{a+b}{2b}

\frac{a^2+2ab}{b^2+2ab}

Expresa cada región mediante el semicírculo grande y uno de los semicírculos pequeños

Express each region using the large semicircle and one small semicircle

Las dos áreas resultantes contienen un factor común múltiplo de

a+b

Both resulting areas factor a common multiple of

a+b

El área sombreada es

\begin{aligned} &\frac{\pi}{2}\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 +\frac{\pi}{2}\left(\frac a2\right)^2\\ &\qquad-\frac{\pi}{2}\left(\frac b2\right)^2 =\frac{\pi a(a+b)}4. \end{aligned}

Del mismo modo, el área no sombreada es

\frac{\pi b(a+b)}{4}.

Su razón es

\frac{a}{b},

así que la respuesta correcta es B.

The shaded area is

\begin{aligned} &\frac{\pi}{2}\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 +\frac{\pi}{2}\left(\frac a2\right)^2\\ &\qquad-\frac{\pi}{2}\left(\frac b2\right)^2 =\frac{\pi a(a+b)}4. \end{aligned}

Similarly, the unshaded area is

\frac{\pi b(a+b)}{4}.

Their ratio is

\frac{a}{b},

so B is correct.

El Problema 16 en otros años