1964 AMC 12 Problema 16

Question

Sea

f(x)=x^2+3x+2

y sea

S

el conjunto de enteros

\{0,1,2,\ldots,25\}.

El número de elementos

s

de

S

tales que

f(s)

deja residuo cero al dividirse entre

6

es:

Let

f(x)=x^2+3x+2

and let

S

be the set of integers

\{0,1,2,\ldots,25\}.

The number of members

s

of

S

such that

f(s)

has remainder zero when divided by

6

is:

25

22

21

18

17

Respuesta: E

Conceptos:aritmética modular divisibilidad conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Factoriza

f(s)

como

(s+1)(s+2)

Factor

f(s)

as

(s+1)(s+2)

Pista grande:

El producto siempre es par; determina qué residuo de

s

módulo

3

falla

The product is always even; determine which residue of

s

modulo

3

fails

Solución:

Tenemos

f(s)=(s+1)(s+2),

un producto de enteros consecutivos, por lo que siempre es par. Es divisible entre

3

salvo cuando

s\equiv0\pmod3.

Entre

0,1,\ldots,25,

nueve valores son múltiplos de

3.

Así, funcionan

26-9=17

valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

We have

f(s)=(s+1)(s+2),

a product of consecutive integers, so it is always even. It is divisible by

3

unless

s\equiv0\pmod3.

Among

0,1,\ldots,25,

nine values are multiples of

3.

Thus

26-9=17

values work.

Therefore, the correct answer is E.