1973 AMC 12 Problema 16

Question

Si la suma de todos los ángulos de un polígono convexo excepto uno es

2190^\circ,

entonces el número de lados del polígono debe ser

If the sum of all the angles except one of a convex polygon is

2190^\circ,

then the number of sides of the polygon must be

13

15

17

19

21

Sea

x^\circ

el ángulo interior omitido y

n

el número de lados

Let the omitted interior angle be

x^\circ

and the number of sides be

n

Usa

0\lt x\lt180

para encerrar el entero

n-2

en un intervalo de longitud

1

Use

0\lt x\lt180

to trap the integer

n-2

in an interval of length

1

Si el ángulo omitido es

x^\circ,

la convexidad da

0\lt x\lt180.

Por lo tanto,

180(n-2)=2190+x,

de modo que

\frac{2190}{180} \lt n-2 \lt\frac{2370}{180}.

Esto es

12\frac16\lt n-2\lt13\frac16.

El único entero posible es

n-2=13,

así que

n=15.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

If the omitted angle is

x^\circ,

then convexity gives

0\lt x\lt180.

Hence

180(n-2)=2190+x,

so

\frac{2190}{180} \lt n-2 \lt\frac{2370}{180}.

This is

12\frac16\lt n-2\lt13\frac16.

The only possible integer is

n-2=13,

so

n=15.

Therefore, the correct answer is B.

El Problema 16 en otros años