1980 AMC 12 Problema 16

Question

Cuatro de los ocho vértices de un cubo son vértices de un tetraedro regular. Halla la razón entre el área superficial del cubo y el área superficial del tetraedro.

Four of the eight vertices of a cube are vertices of a regular tetrahedron. Find the ratio of the surface area of the cube to the surface area of the tetrahedron.

\sqrt2

\sqrt3

\sqrt{\frac32}

\frac2{\sqrt3}

2

Respuesta: B

Conceptos:geometría del cubo área de superficie triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Si la arista del cubo es

s,

cada arista del tetraedro es la diagonal de una cara

If the cube edge is

s,

each tetrahedron edge is a face diagonal

Pista grande:

Compara

6s^2

con cuatro triángulos equiláteros de lado

s\sqrt2

Compare

6s^2

with four equilateral triangles of side

s\sqrt2

Solución:

Sea

s

la arista del cubo. Cada arista del tetraedro es la diagonal de una cara del cubo, por lo que mide

s\sqrt2.

El área superficial del tetraedro es

4\left(\frac{\sqrt3}{4}(s\sqrt2)^2\right) =2\sqrt3\,s^2.

El área superficial del cubo es

6s^2,

así que la razón es

\frac{6}{2\sqrt3}=\sqrt3.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the cube edge be

s.

Each tetrahedron edge is a cube face diagonal, so it has length

s\sqrt2.

The tetrahedron’s surface area is

4\left(\frac{\sqrt3}{4}(s\sqrt2)^2\right) =2\sqrt3\,s^2.

The cube’s surface area is

6s^2,

so the ratio is

\frac{6}{2\sqrt3}=\sqrt3.

Therefore, the correct answer is B.