1989 AMC 12 Problema 16

Question

Un punto reticular es un punto del plano cuyas coordenadas son enteras. ¿Cuántos puntos reticulares hay en el segmento cuyos extremos son

(3,17)

y

(48,281)

? (Incluye ambos extremos del segmento en el conteo.)

A lattice point is a point in the plane with integer coordinates. How many lattice points are on the line segment whose endpoints are

(3,17)

and

(48,281)?

(Include both endpoints of the segment in your count.)

2

4

6

16

46

Calcula las diferencias entre las coordenadas horizontales y verticales

Compute the horizontal and vertical coordinate differences

Un segmento con diferencias

\Delta x,\Delta y

contiene

\gcd(|\Delta x|,|\Delta y|)+1

puntos reticulares

A segment with differences

\Delta x,\Delta y

contains

\gcd(|\Delta x|,|\Delta y|)+1

lattice points

Las diferencias entre las coordenadas son

45

y

264,

cuyo máximo común divisor es

3.

Por tanto, el número de puntos reticulares, incluidos ambos extremos, es

\gcd(45,264)+1=4.

Por tanto, la respuesta correcta es B.

The coordinate differences are

45

and

264,

whose greatest common divisor is

3.

The number of lattice points, including both endpoints, is therefore

\gcd(45,264)+1=4.

Thus the correct answer is B.

El Problema 16 en otros años